Facoltà di Agraria
il grafico di una funzione continua f può non
ammettere in alcuni punti retta tangente
oppure ammettere in alcuni punti una retta
tangente parallela all’asse delle ordinate
1
Facoltà di Agraria
Equazione della retta tangente al grafico
di una funzione
Abbiamo già visto che in un sistema di assi
cartesiani ortogonali, è possibile
determinare l’equazione di una retta r non
parallela agli assi coordinati, conoscendo:
• le coordinate di due suoi punti
• il suo coefficiente angolare e le coordinate
di un suo punto
2
Facoltà di Agraria
In particolare, relativamente al secondo
caso, abbiamo visto che se
• P(x0,y0)∈r
• m è il suo coefficiente angolare
y − y 0 = m( x − x 0 )
è l’equazione cartesiana della retta r
3
Facoltà di Agraria
Da ciò segue immediatamente che, assegnata
una funzione f (x) definita in un intervallo [a,b]
e fissato un punto x0 interno all’intervallo [a,b]
in cui f ammette derivata, allora
l’equazione della retta tangente al grafico di f
nel punto di coordinate (x0,f (x0)) è:
y − f ( x0 ) = f ' ( x0 )( x − x0 )
coefficiente angolare
della retta tangente
4
Facoltà di Agraria
Vediamo ora cosa succede
graficamente quando una funzione f
non è derivabile in un punto
5
Facoltà di Agraria
Esempio 1. Sia data la funzione
f ( x) = x
Tale funzione è definita e continua in tutto R
Quindi, in particolare, è definita e continua nel
punto x0 = 0
Verifichiamo ora se f (x) è anche derivabile
nel punto x0 = 0
6
Facoltà di Agraria
A tale proposito, costruiamone il rapporto incrementale
nel caso in cui x0 = 0:
(essendo
f ( x) − f ( x0 )
=
x − x0
=
x
lim x
x →0
x−0
x−0
lim
=
x →0 +
lim
x →0 −
=
f ( x) = x )
x
x
x
1
=
1
=
lim
= lim
+
x
→
0
+ x
x
x →0
x
−x
= lim (− 1) = −1
= lim
7
x →0 −
x x →0 − x
x
Facoltà di Agraria
Quindi:
La funzione f ( x) = x ammette nel punto x0=0
derivata destra e derivata sinistra finite ma
diverse tra loro
f '+ ( x0 ) = 1 ed f '− ( x0 ) = −1
La funzione f ( x ) = x non è derivabile nel
punto x0=0 (pur essendo continua in tale punto)
ed il punto x0 è detto
punto angoloso
8
Facoltà di Agraria
Più precisamente:
Def. Sia assegnata una funzione f (x) definita
in un intervallo [a,b] e sia x0 un fissato punto
interno all’intervallo [a,b]. Se f ammette in x0
derivata destra e derivata sinistra finite ma
diverse tra loro, allora f non è derivabile in x0 e
si dice che il punto x0 è una punto angoloso
9
Facoltà di Agraria
Da un punto di vista grafico, possiamo
affermare che il grafico di una funzione
ammette in un punto angoloso x0 due
rette tangenti (da destra e da sinistra) non
parallele all’asse delle ordinate
P
f ( x) = x
O
O
10
Facoltà di Agraria
Osservazione
In generale, ogni funzione che presenta il
valore assoluto nella propria espressione
analitica non è derivabile nei punti x in cui si
annulla l’argomento del valore assoluto.
E tali punti sono punti angolosi.
11
Facoltà di Agraria
Esempio 2. Sia data la funzione
f ( x) = x − 1
3
Anche tale funzione è definita e continua in tutto R
Quindi, in particolare, è definita e continua nel
punto x0 = 1
Si verifica però che f (x) non è derivabile nel
punto x0 = 1
12
Facoltà di Agraria
In particolare, si può facilmente verificare che:
lim
−
x →1
f ( x) − f (1)
= +∞
x −1
lim
x →1+
f ( x) − f (1)
= +∞
x −1
Tali limiti da destra e da sinistra, pur essendo uguali,
non sono finiti
La funzione f ( x) = 3 x − 1 non è derivabile
in x0=1 (pur essendo lì continua) e il
punto x0=1 è detto
flesso a tangente verticale
13
Facoltà di Agraria
Più precisamente:
Def. Sia assegnata una funzione f (x) definita
in un intervallo [a,b] e sia x0 un fissato punto
interno all’intervallo [a,b]. Se f ammette in x0
limite destro e limite sinistro del rapporto
incrementale uguali tra loro ma infiniti (cioè
entrambi uguali a +∞ o a -∞), allora f non è
derivabile in x0 e si dice che il punto x0 è un
flesso a tangente verticale
14
Facoltà di Agraria
Da un punto di vista grafico, possiamo
affermare che il grafico di una funzione
ammette in un punto di flesso a
tangente verticale x0 retta tangente parallela
all’asse delle ordinate
x0
O
lim
x → x0 ±
x0
O
P
f ( x) − f ( x0 )
= +∞
x − x0
lim
x → x0 ±
P
f ( x) − f ( x0 )
= −∞
x − x0
15
Facoltà di Agraria
Esempio 3. Sia data la funzione
f ( x) = 3 x
Anche tale funzione è definita e continua in tutto R
Quindi, in particolare, è definita e continua nel
punto x0 = 0
Si verifica però che f (x) non è derivabile nel
punto x0 = 0
16
Facoltà di Agraria
A tale proposito, costruiamone il rapporto incrementale
nel caso in cui x0 = 0:
(
f ( x) − f ( x0 )
= essendo
x − x0
3 x
3 x − 0
=
=
x−0
x
f ( x) = 3 x
)
1
1
x
= lim 3 2 = + ∞
lim
2
=
lim
x →0
x →0
x
3
3 x
x
x→0
x
=
lim
3
1
1
x
−x
x →0
=lim − 2 = lim − 3 2 = − ∞
lim
x →0
x →0
x 17
x
x→0
3
x
3
−
+
+
+
−
−
Facoltà di Agraria
Quindi, risulta che:
lim
x →0 +
f ( x) − f (0)
= +∞
x−0
lim
x →0 −
f ( x) − f (0)
= −∞
x−0
Tali limiti da destra e da sinistra sono differenti tra
loro e non sono finiti
La funzione f ( x) = 3 x non è derivabile
in x0=0 (pur essendo lì continua) e il
punto x0=0 è detto
cuspide
18
Facoltà di Agraria
Più precisamente:
Def. Sia assegnata una funzione f (x) definita
in un intervallo [a,b] e sia x0 un fissato punto
interno all’intervallo [a,b]. Se f ammette in x0
limite destro e limite sinistro del rapporto
incrementale diversi tra loro ed infiniti (cioè
l’uno uguale a +∞ e l’altro a -∞ o viceversa),
allora f non è derivabile in x0 e si dice che il
punto x0 è una cuspide
19
Facoltà di Agraria
Da un punto di vista grafico, possiamo
affermare che il grafico di una funzione
ammette in un punto di cuspide x0 retta
tangente parallela all’asse delle ordinate
O
lim
x → x0 ±
x0
x0
O
P
f ( x) − f ( x0 )
= ±∞
x − x0
lim
x → x0 ±
P
f ( x) − f ( x0 )
= ∞
x − x0
20
Facoltà di Agraria
Derivate delle funzioni elementari
• Sia data la funzione costante
f ( x) = k
Vediamo quanto vale la derivata di una funzione
costante ∀x ∈ R :
f ( x + h) − f ( x ) k − k
0
=
= = 0
h
h
h
lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
= lim 0 = 0
h →0
h
Dk = 0, ∀x ∈ R
21
Il risultato appena trovato ha
un’interpretazione geometrica:
Facoltà di Agraria
il grafico della funzione costante f (x)= k è
una retta parallela all’asse delle ascisse
In ogni punto la retta tangente coincide
con il grafico della funzione
Il coefficiente angolare della retta tangente è
mt = 0, ∀x ∈ R
(infatti: tan 0 = 0 )
22
Facoltà di Agraria
• Sia data la funzione bisettrice
f ( x) = x
Vediamo quanto vale la derivata della funzione
bisettrice ∀x ∈ R :
f ( x + h) − f ( x ) x + h − x h
= = 1
=
h
h
h
lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
= lim1 = 1
h →0
h
Dx = 1, ∀x ∈ R
23
Il risultato appena trovato ha
un’interpretazione geometrica:
Facoltà di Agraria
il grafico della funzione costante f (x)= x è la
retta bisettrice del I e III quadrante
In ogni punto la retta tangente coincide
con il grafico della funzione
Il coefficiente angolare della retta tangente è
mt = 1, ∀x ∈ R
π
(infatti: tan = 1 )
4
24
Facoltà di Agraria
• Sia data la funzione
f ( x) = x , α ∈ R e x > 0
α
Si può verificare che la derivata di tale funzione
quando x ∈ R + è:
α
Dx = αx
α −1
, ∀x > 0 ed ∀α ∈ R
Esempio 1:
se f ( x) = x ⇒ f ' ( x) = 3x
3
In particolare, posto x0=2
2
f ' ( x0 ) = f ' ( 2) = 3 ⋅ 4 = 12
25
Facoltà di Agraria
Esempio 2:
se f ( x) = x ⇔ f ( x) = x
1
2
1 12 −1 1 − 12 1 1
1
f ' ( x) = x = x =
=
1
2
2 2 2 x
2
x
D x=
1
2 x
, ∀x ∈ R
+
26
Facoltà di Agraria
Esempio 3:
1
−1
se f ( x) = ⇔ f ( x) = x
x
f ' ( x ) = −1 ⋅ x
−1−1
1
= −x = − 2
x
−2
1
1
+
D = − 2 , ∀x ∈ R
x
x
27
Facoltà di Agraria
Allo stesso modo, si può verificare che:
• Da x = a x log a
• De x = e x
1 1
• D log a x = ⋅
x log a
1
• D log x =
x
• D sen x = cos x
• D cos x = − sen x
28
Facoltà di Agraria
Regole di calcolo delle derivate
Vediamo ora come si comporta
l’operazione di derivazione rispetto alle
operazioni algebriche (somma, differenza,
prodotto, quoziente) e alle operazioni di
composizione e di inversione
29
Facoltà di Agraria
Teorema
Se f : (a, b) → R, g : ( a, b) → R
sono due
funzioni derivabili in (a,b)
f
(con g ≠ 0)
f ± g, f ⋅ g,
g
sono derivabili in (a,b) e valgono le
seguenti formule:
30
Facoltà di Agraria
•
( f ± g) =
f +g
•
( f ⋅ g) =
'
'
'
'
'
'
f ⋅g + f ⋅g
f
f ⋅g − f ⋅g
• =
2
g
g
'
'
'
•
(k ⋅ f ) =
'
k⋅ f
'
1
g
• = − 2
g
g
'
31
'
Facoltà di Agraria
Dalla regola della derivata di un rapporto
segue immediatamente che:
sen x cos x ⋅ cos x − sen x ⋅ (− sen x )
=
D tan x = D
=
2
cos x
cos x
1
cos x + sen x
=
=
2
2
cos x
cos x
2
2
1
2
• D tan x =
=
1
+
tan
x
2
cos x
32
Facoltà di Agraria
Regole di calcolo delle derivate
Abbiamo già visto come si comporta
l’operazione di derivazione rispetto alle
operazioni algebriche di somma,
differenza, prodotto e quoziente.
Vediamo ora come si comporta
l’operazione di derivazione rispetto alle
operazioni di composizione e di
inversione.
33
Facoltà di Agraria
Teorema
Sia assegnata la funzione composta
f ( g ( x )) mediante le due funzioni f ( x ) e g ( x ).
Sia la funzione g derivabile in x e
sia la funzione f derivabile in g(x)
f ( g ( x )) è
anche la funzione composta
derivabile e vale la seguente formula:
( f g ) = f (g (x )) ⋅ g (x )
'
'
'
34
Facoltà di Agraria
Esempio 1:
sia f ( x) = (sen x )
3
f ' ( x) = 3(sen x ) ⋅ cos x
2
Esempio 2:
sia f ( x) = log(sen x )
1
f ' ( x) =
⋅ cos x
sen x
35
Facoltà di Agraria
Esempio 3:
(
3
sia f ( x) = cos log x
)
1
f ' ( x) = − sen (log x )⋅ 3 log x ⋅ =
x
3
2
3
3
2
= − sen (log x ) ⋅ log x
x
Esempio 4:
sia f ( x) = 6
f ' ( x) = 6
cos x
cos x
log 6 ⋅ (− sen x )
36
Facoltà di Agraria
Teorema
Sia f (x) una funzione continua e
strettamente monotona nell’intervallo [a, b]
(quindi f è invertibile in [a, b] ).
Sia la funzione f derivabile in un punto x ∈ (a, b )
'
tale che f ( x) ≠ 0
−1
( y ) è derivabile
f
anche la funzione inversa
nel punto y = f ( x ) e vale la formula:
( f ( y )) = f (x ) = f ( f ( y ))
−1
'
1
'
1
'
−1
37
Facoltà di Agraria
Esempio :
Sia data la funzione y = arcsenx, ∀x ∈ [− 1,1]
π π
⇒ x = seny, ∀y ∈ − ,
2 2
(
)
Tale funzione risulta derivabile ∀x ∈ − 1,1
e applicando la formula di derivazione delle
funzioni inverse risulta che:
1
1
D arcsen x =
=
⇒
D sen y cos y
se : sen 2 y + cos 2 y = 1 ⇒ cos 2 y = 1 − sen 2 y
π π
⇒ cos y = 1 − sen y , y ∈ − ,
2 2
2
38
Facoltà di Agraria
D arcsen x =
D arcsen x =
1
2
1 − sen y
1
1− x
2
=
1
1− x
2
, ∀x ∈ (− 1,1)
39
Osservazione
Facoltà di Agraria
La funzione f ( x) = arcsenx, ∀x ∈ [− 1,1]
non è derivabile nei punti
x=± 1
Infatti, il grafico della
funzione arcoseno
presenta tangente
verticale nei punti di
ascissa ± 1
40
Facoltà di Agraria
Allo stesso modo, data la funzione
f ( x) = arccos x, x ∈ [− 1,1]
si può verificare che è una funzione derivabile
∀x ∈ (− 1,1) e risulta che:
D arc cos x = −
1
1− x
2
, ∀x ∈ (− 1,1)
41
Osservazione
Facoltà di Agraria
Anche la funzione f ( x) = arccosx, ∀x ∈ [− 1,1]
non è derivabile nei punti
x=± 1
Infatti, il grafico
della funzione
arcocoseno
presenta tangente
verticale nei punti
di ascissa ± 1
42
Infine, data la funzione
Facoltà di Agraria
f ( x) = arctan x, ∀x ∈ R
si può verificare che è una funzione derivabile
∀x ∈ R
e risulta che:
1
D arctan x =
,
∀
x
∈
R
2
1+ x
43
Facoltà di Agraria
Esempio 1:
sia f ( x) = arcsen e
f ' ( x) =
1
( )
1− e
x 2
x
⋅
e
x
Esempio 2:
sia f ( x) = arctan x
f ' ( x) =
1
1+
1
1
⋅
⋅
=
2
2 x 1+ x 2 x
x
( )
1
44
Facoltà di Agraria
Esempio 3:
sia f ( x) = arccos(log x )
1
1
f ' ( x) = −
⋅
2
1 − log x x
45
Facoltà di Agraria
Così, a partire da dal teorema sulla derivazione
delle funzioni composte ed inverse e dalle
derivate delle funzioni elementari, si deduce che:
• D[ f ( x )] = αf ( x )
α
α −1
⋅ f (x )
'
1
'
• D f (x ) =
⋅ f (x )
2 f (x )
1
1
'
•D
= − 2 ⋅ f (x )
f (x )
f (x )
46
Facoltà di Agraria
• Da
f (x)
• De
f (x)
=α
=e
f (x )
f (x)
log a ⋅ f ( x )
'
⋅ f (x )
'
1
1
'
• D log a f ( x ) =
⋅
⋅ f (x )
f ( x ) log a
1
'
• D log f ( x ) =
⋅ f (x )
f (x )
47
Facoltà di Agraria
• D sen f (x ) = cos f ( x ) ⋅ f (x )
'
• D cos f ( x ) = − sen f ( x ) ⋅ f ( x )
'
1
'
(
)
f
x
• D tan f ( x ) =
⋅
2
cos f ( x )
48
Facoltà di Agraria
• D arcsen f (x ) =
• D arccos f ( x ) = −
1
1− f
⋅ f (x )
'
2
(x )
1
1− f
⋅ f (x )
'
2
(x )
1
'
• D arctan f ( x ) =
⋅ f (x )
2
1 + f (x )
49
