Matematica e statistica
Versione didascalica: parte 4
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Sito web del corso
http://www.labmat.it
Docente: Prof. Sergio Invernizzi, Università di Trieste
e-mail: inverniz@units.it
2.10. Il problema inverso delle tangenti
x
f(x) = y'(x)
______________________
Il problema è ricostruire la funzione
y(x) nota che sia la sua derivata f(x)
Di y si conosce la pendenza della
retta tangente al suo grafico
nel punto di ascissa x, e da tutte
queste informazioni vogliamo
ricostruire i vari valori y(x).
Per esempio possiamo conoscere le
pendenze tabulate qui accanto.
2.10. bis
2.10. ter
y '( x) f ( x)
xk a (k 1) h
k 1, 2,..., n, n 1
h
Il problema è per x nell’intervallo [a, b]
ma possiamo discretizzate tabulando
(b a) / n
y '( x1 ) f ( x1 )
y ( x2 ) y ( x1 ) h f ( x1 )
y '( x2 ) f ( x2 )
y ( x3 ) y ( x1 ) 2h f ( x2 )
y '( x3 ) f ( x3 )
y ( x4 ) y ( x2 ) 2h f ( x3 )
.......................
y '( xn ) f ( xn )
.......................
y ( xn 1 ) y ( xn 1 ) 2h f ( xn )
y '( xn 1 ) f ( xn 1 )
y ( xn 1 ) y ( xn ) h f ( xn 1 )
y ( x2 ) y ( x1 ) h f ( x1 )
y ( x3 ) y ( x1 ) 2h f ( x2 )
y ( x4 ) y ( x2 ) 2h f ( x3 )
y ( x5 ) y ( x3 ) 2h f ( x4 )
y ( x6 ) y ( x4 ) 2h f ( x5 )
Nel caso concreto n = 14
dell’esempio, sommiamo:
.......................
y ( x14 ) y ( x12 ) 2h f ( x13 )
y ( x15 ) y ( x13 ) 2h f ( x14 )
y ( x15 ) y ( x14 ) h f ( x15 )
2 y( x15 ) 2 y( x1 ) h f ( x1 ) 2h f ( x2 ) ... 2h f ( x14 ) h f ( x15 )
Nel caso generale:
2.10.1 La Formula di Torricelli
Sommando e semplificando:
2 y( xn 1 ) 2 y( x1 )
h f ( x1 ) 2 f ( x2 ) 2 f ( x3 ) ... 2 f ( xn ) f ( xn 1 )
y ( xn 1 ) y( x1 ) h { 12 f1 [ f 2 ... f n ] 12 f n 1} Tn
Formula di Torricelli
b
y(b) y(a) y '( x)dx
a
2.10.2 Calcolo esatto di integrali
(Prima conseguenza della Formula di Torricelli; y'(x) = f(x) )
Se si “indovina” una funzione y(x) tale che y'(x) = f(x)
(una antiderivata – o primitiva – della funzione f(x) )
si ha
b
f ( x)dx y(b) y(a)
a
Si usa per brevità la notazione
b
a
f ( x)dx y( x) |xxba
dF
( x) f ( x)
• Supponiamo che F sia una antiderivata di f, ossia
dx
per cui
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
• Supponiamo che G sia una antiderivata di g, ossia dG ( x) g ( x)
dx
per cui
b
a
g ( x)dx G(b) G(a)
• Allora d ( F G ) ( x) dF ( x) dG ( x) f ( x) g ( x)
dx
dx
dx
per cui F + G è una antiderivata di f + g e si ha
b
{ f ( x) g ( x)}dx {F (b) G(b)} {F (a) G(a)}
F (b) F (a) G (b) G (a) f ( x)dx g ( x)dx
a
b
b
a
a
dF
( x) f ( x)
• Supponiamo che F sia una antiderivata di f, ossia
dx
per cui
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
• Supponiamo che sia una costante
• Allora
d ( F )
dF
( x)
( x) f ( x)
dx
dx
per cui F è una antiderivata di f e si ha
b
{ f ( x)}dx F (b) F (a)
( F (b) F (a)) f ( x)dx
a
b
a
Integrale indefinito
Simbolicamente per indicare il problema di trovare una
antiderivata y(x) della funzione f(x) si scrive talvolta
f ( x)dx ?
Se y(x) è un’antiderivata, anche y(x) +C lo è (C costante).
Si usa per brevità la notazione
f ( x)dx y( x) C
Esempi
1. Il Problema di Archimede (calcolo esatto)
1
0
4 x(1 x)dx 2 x x
2
4
3
3
|
x 1
x 0
2 43 2 3
2. L’area del seno (calcolo esatto)
0
sin( x)dx cos( x) |
x
x 0
1 (1) 2
3. L’area del ... (calcolo esatto ?)
1
dx tan 1 ( x) |xx 10 tan 1 (1) tan 1 (0) 4
1
2
0 1 x
4
1
1
2
0 1 x
dx
2.10.3. Calcolo di integrali indefiniti
1. RELAX
2. Calcolo Algebrico Simbolico (Mathematica, Maple,
Derive,..., TI-89 e sup.). Esempio:
3.
4. Conoscere le “primitive immediate” (quelle delle tabelle di
derivazione lette al contrario)
2.10.4. Soluzione del problema inverso
(Seconda conseguenza della Formula di Torricelli: y'(x) = f(x) )
b
x
a
a
y (b) y (a) y '( x)dx y ( x) y (a ) f (u )du
f ( x) y '( x)
d
dx
x
a
d
dx
y (a )
x
a
f (u )du
f (u )du f ( x)
x
y '( x) f ( x)
y ( x) C f (u )du
0
y (0) C
d
dx
x
a
f (u )du
Esempio
e
y '( x)
y(0) 0
1
2
x2 / 2
y ( x)
1
2
x
0
e
u 2 / 2
du
La curva a campana di Gauss
f ( x)
f ( x; , )
1
2
1
2
e
x2 / 2
e
( x )2 / 2 2
K.F. Gauss (1777-1855) e la curva a
campana nella banconota da 10 DM
del 1991.
La funzione f ( x)
è data.
1
2
e
x2 / 2
La incognita y ( x) è calcolata
usando la regola dei trapezi.
f ( x ) è la derivata di y ( x)
y ( x) è una primitiva di f ( x)
2.11.a. Estensione del concetto di integrale
Funzione integranda che cambia segno
b
a
f ( x)dx = area(
) - area(
)
2.11.b. Estensione del concetto di integrale
Inversione degli estremi di integrazione
Se a > b, integrare da a a b significa muoversi sull’asse X
all’indietro, ossia con un passo h = (b-a)/n negativo nelle
formule di calcolo numerico.
Quindi si pone:
b
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
b
A.Valore medio
Valore medio di una funzione f(x) nell’intervallo [a, b]
f
1
b a
b
a
f (u)du
Media mobile
( x)
1
2
x
x
f (u)du
B. Data smoothing
Media mobile
( x)
1
2
x
x
f (u)du
f ( x) ( x)
ε = 0.5
