1 + A - DEI

University of Padova
Information Engineering Dept. – Microelectronics Lab.
Corso di Laurea in Ingegneria
dell’Informazione
Elettronica Digitale
- Lezione 2 -
Andrea Gerosa - gerosa@dei.unipd.it
Tel. 049-827-7728
Logica binaria e Porte logiche
 Variabili binarie
 Operatori logici
 Operatori logici fondamentali: sono le 3
funzioni logiche
• AND, OR e NOT.
 Porte logiche
 Algebra di Boole
Variabili binarie
 Valori
•
•
•
•
True/False
On/Off
Yes/No
1/0
 Esempi di variabili:
• A, B, y, z, o X1
• RESET, START_IT, o ADD1
Operatori Logici fondamentali
 AND (·)
 OR (+)
 NOT ( ¯ ), (') o (~)
AND
0·0=0
0·1=0
1·0=0
1·1=1
OR
NOT
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1
0=1
1=0
Tabella di verità
 Elenco dei valori di uscita di una funzione logica per
ogni possibile combinazione degli ingressi binari
• Funzione di N variabili binarie  2N righe
X
0
0
1
1
AND
Y Z = X·Y
0
0
1
0
0
0
1
1
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
OR
Z = X+Y
0
1
1
1
NOT
X
0
1
Z=X
1
0
Regole di precedenza
 Precedenza degli operatori fondamentali
in ordine decrescente:
1. Parentesi
2. NOT
3. AND
4. OR
Esempio: F = A(B + C)(C + D)
Porte Logiche
 Rappresentazione simbolica del circuito che realizza
una funzione logica:
Tempo o ritardo di propagazione
 La commutazione dell’uscita di una porta non
può essere istantanea.
 Il ritardo tra la commutazione dell’ingresso(i) e
la commutazione dell’uscita è il tempo o ritardo
di propagazione) tp:
1
Input
0
1
Output
0
0
tp
tp
0.5
1
tp = 0.3 ns
1.5
Time (ns)
Circuiti logici
Tabella di verità
XYZ
000
001
010
011
100
101
110
111
F = X + Y Z
0
1
0
X
0
Y
1
1
Z
1
1
Equazione logica
F = X +Y Z
Circuito logico
 Tabella di verità, equazione (o espressione) logica e circuito
logico descrivono la stessa funzione logica.
 La tabella di verità è unica; l’equazione e il circuito no.
F
Algebra di Boole
 Definisce in modo rigoroso l’algebra con cui
operare sulle variabili logiche
 Definita da George Boole (filosofo) nel 1854
 Codificata in 6 postulati da Huntington nel 1904
 Ristretta all’algebra commutativa da Shannon nel
1938
 2 Approcci: definizione rigorosa a partire da
postulati o definizione regole a partire dagli
operatori
Algebra di Boole
1.
3.
5.
7.
9.
X+0= X
X+1 =1
X+X =X
X+X =1
2.
4.
6.
8.
X .1 =X
X .0 =0
X .X = X
X .X = 0
X=X
10. X + Y = Y + X
12. (X + Y) + Z = X + (Y + Z)
14. X(Y + Z) = XY + XZ
16. X + Y = X . Y
11. XY = YX
Commutativa
Associativa
13. (XY) Z = X(YZ)
15. X + YZ = (X + Y) (X + Z) Distributiva
De Morgan
17. X . Y = X + Y
Principio di Dualità
 Data una generica espressione booleana, si
definisce espressione duale quella che si
ottiene:
1. Cambiando tutti gli operatori AND in
OR e viceversa
2. Cambiando tutti i valori “0” in “1” e
viceversa
 Per il principio di dualità, se un’espressione
è vera allora è vera anche la duale.
Principio di dualità
a  b + c  = a  b + a  c  a + b  c = a + b   a + c 
a+b = 0
 a b =1
e non
a b = 0
Teoremi dell’algebra di Boole
 A + A·B = A
(Assorbimento)
 A·(A+B)=A
Dimostrazione
A + A·B
= A·1+A·B
X=X·1
= A · ( 1 + B) X · Y + X · Z = X ·(Y + Z)
=A·1
=A
1+X=1
X·1=X
Teoremi dell’algebra di Boole
 Combinazione o semplificazione
 Teorema del consenso
Teoremi dell’algebra di Boole
Semplificazione di un’espressione
 Minimizzare il numero di letterali
(variabili dirette o negate):
A B + ACD + A BD + AC D + A BCD
= AB + ABCD + A C D + A C D + A B D
= AB + AB(CD) + A C (D + D) + A B D
= AB + A C + A B D = B(A + AD) +AC
= B (A + D) + A C 5 letterali
Forme canoniche
 Tra le possibili espressioni logiche di una
data funzione, ne identifichiamo 2
particolari:
• Somma di mintermini – SOM (Sum of
Minterms)
• Prodotto di maxtermini – POM (Product of
Maxterms)
Mintermini - definizioni
 Data una funzione logica a N variabili:
 Termine prodotto: qualsiasi prodotto tra letterali
 Mintermine: termine prodotto che contiene tutte
le N variabili (dirette o negate).
 Per ogni funzione di N variabili, esistono 2N
mintermini.
XY
XY
XY
XY
Maxtermini - definizioni
 Data una funzione logica a N variabili:
 Termine somma: qualsiasi somma tra letterali
 Maxtermine: termine somma che contiene tutte
le N variabili (dirette o negate).
 Per ogni funzione di N variabili, esistono 2N
maxtermini.
X +Y
X +Y
X +Y
X +Y
Maxtermini e Mintermini
 Indici
i
Mint., mi
Maxt., Mi
0
xy
x+y
1
xy
x+y
2
xy
x+y
3
xy
x+y
 L’indice i corrisponde alla riga della TdV a cui
associamo mi e Mi
Mintermini e TdV
 Variabile = 0
• appare negata nel
mint.
 Variabile =1
• Appare diretta
nel mint.
Mintermini e TdV
 Un solo mint. vale “1” per ogni riga
 Una funzione logica può essere espressa
come OR tra mintermini
Somma di Mintermini
 F1 = m1 + m4 + m7
 F1 = x y z + x y z + x y z
x y z index m1 + m4 + m7 = F1
000
0
0
+
0
+
0
=0
001
1
1
+
0
+
0
=1
010
2
0
+
0
+
0
=0
011
3
0
+
0
+
0
=0
100
4
0
+
1
+
0
=1
101
5
0
+
0
+
0
=0
110
6
0
+
0
+
0
=0
111
7
0
+
0
+
1
=1
Maxtermini e TdV
 Variabile = 0
• appare diretta nel
maxt.
 Variabile =1
• Appare negata
nel maxt.
Maxtermini e TdV
 Un solo maxt. vale “0” per ogni riga
 Una funzione logica può essere espressa
come AND tra maxtermini
Prodotto di Maxtermini

F1 =
M0 ·
M2
·
M3
·
M5
· M6
F1 = (x + y + z) ·(x + y + z)·(x + y + z )
·(x + y + z )·(x + y + z)
xyz
000
001
010
011
100
101
110
111
i
0
1
2
3
4
5
6
7
M0  M2  M 3  M5  M6
0  1  1  1  1
1  1  1  1  1
1  0  1  1  1
1  1  0  1  1
1  1  1  1  1
1  1  1  0  1
1  1  1  1  0
1  1  1  1  1
= F1
=0
=1
=0
=0
=1
=0
=0
=1
Somma canonica
 Qualsiasi funzione logica può essere
espressa come Somma di Mintermini.
f =x+x y
f = x( y + y ) + x y
f = xy + x y + x y
Abbreviazioni
F = m1+m4+m5+m6+m7
F( A, B, C) = m(1,4,5,6,7)
F ( A, B, C ) :On  set = m1 , m4 , m5 , m6 , m7 
Prodotto canonico
 Qualsiasi funzione logica può essere
espressa come Prodotto di Maxtermini.
f ( x, y , z ) = x + x y
x + x y = (x + x )(x + y ) = 1  (x + y ) = x + y
x + y + z  z = ( x + y + z ) x + y + z 
Conversione tra forme canoniche
F ( x , y , z ) = m ( 1, 3 , 5 , 7 )
F( x, y, z) = PM(0, 2,4,6)
F( x, y , z ) = m( 0, 2,4,6)
F( x, y , z ) = PM(1, 3,5,7 )
Altre forme standard
 Somma di prodotti (SOP)
 Prodotto di somme (POS)
ABC+ ABC+B
(A + B) · (A+ B + C )· C
Complessità circuitale
 Per ogni funzione esiste
un’implementazione SOP come somma di
tutti i mintermini
• circuito logico 2 livelli tale che:
• il primo livello è formato da una schiera di
porte AND a N ingressi
• il secondo livello consiste in una singola
porta OR
 Spesso esistono altre forme SOP a cui
corrispondono circuiti meno complessi
Esempio
F( A, B, C) = m(1,4,5,6,7)
F = A B  C + A B  C + A B  C + A B  C + A B  C
 5 AND a 3 ingressi + 1 OR a 5 ingressi
 Può essere semplificata:
F = BC + A
Esempio
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
F
F
Problema di minimizzazione
 Le forme canoniche e le altre realizzazioni a
SOP o POS differiscono tra loro in termini di
complessità
• L’algebra di Boole è uno strumento per semplificare
le espressioni logiche
• Espressioni logiche più semplici corrispondono a
implementazioni meno complesse
 Problemi
• Definire un criterio di complessità minima
• Esiste un’unica soluzione a minima complessità?
• Necessitiamo di un metodo per individuare la
soluzione minima
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Chapter 2 - Part 1
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