Lezione01 - Docenti.unina

I numeri naturali, interi,
razionali e reali
I numeri naturali: N
I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. Quando contiamo,
partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri in successione.
L'insieme dei numeri naturali viene indicato con il simbolo N
N = {0; 1; 2; 3; ……n;…..}
Operazioni tra numeri naturali
Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altro
numero naturale.
Operando con l’addizione nell’insieme dei numeri naturali, si ottiene
come risultato un numero dello stesso insieme: si dice che l’addizione è
legge di composizione interna per l’insieme dei numeri naturali e in esso è
ovunque definita.
I numeri naturali: N
La sottrazione, invece, non è sempre possibile tra numeri naturali.
Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale.
La sottrazione non è legge di composizione interna ovunque definita per
l’insieme N, infatti nell’insieme dei numeri naturali la sottrazione è
possibile solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo.
Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numero
naturale.
Anche la moltiplicazione, quindi è una legge di composizione interna,
ovunque definita, per l’insieme dei numeri naturali.
Per la divisione, questo non è sempre vero.
Per esempio non posso dividere 3 per 10 e ottenere altro numero naturale.
Quindi, per quanto riguarda la sottrazione e la divisione, i numeri naturali
non sono adeguati.
I numeri interi: Z
Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numeri
naturali, lo zero e i numeri negativi.
Si ottengono in questo modo i numeri interi.
L'insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z
Z = {………-n;………..-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ………….n;…………}
L'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendono
facilmente ai numeri interi.
I numeri razionali: Q
Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numeri
razionali, cioè frazioni (i numeri decimali periodici)
Di nuovo l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione
si estendono facilmente a questo sistema espanso.
Possiamo dividere ogni razionale per ogni altro razionale (tranne
zero) e ottenere come risultato un razionale .
L'insieme dei numeri razionali viene indicato con il simbolo Q.
I decimali finiti
Se si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto significa che si
considerano i decimali:
1,4 = 1+
4
10
=
14
10
Se si scrive una cifra dopo la virgola al secondo posto significa che si
considerano i centesimi:
1,41 = 1+
41
100
=
141
100
Analogamente si ha per il terzo posto dopo la virgola:
1,414 = 1+
e così via.
414
1000
I decimali finiti
In generale se un decimale occupa sino all'n-esimo
posto dopo la virgola, dobbiamo fare una divisione
usando le cifre a destra della virgola poste al
numeratore e 10n come denominatore.
I numeri decimali finiti sono tutti numeri razionali.
I decimali periodici
Non tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti.
1
Il numero è chiaramente un razionale, ma non può essere espresso
3
mediante un decimale finito;
si può scrivere come un decimale infinito le cui cifre si ripetono:
0,33333….(0,3).
Qua entra il concetto di limite. Si può troncate la successione di 3 ad
ogni punto e ottenere:
3
33 333 3333
,
,
,
,…..
10 100 1000 10000
1
Questa successione ha un limite e il suo limite è esattamente .
3
Ogni numero razionale può essere scritto o come un decimale finito, o
come decimale infinito periodico.
Trasformare un numero decimale in frazione
Se il numero da trasformare è un numero decimale finito si
scrive:
- a numeratore il numero senza virgola
- a denominatore la potenza del 10 con esponente il numero
di cifre dopo la virgola
Se il numero è un numero periodico si scrive:
- a numeratore la differenza tra il numero, considerato senza
la virgola, ed il numero formato dalle cifre che precedono il
periodo
- a denominatore un numero formato da tanti 9 quante
sono le cifre del periodo e da tanti 0 quante sono le cifre che
precedono il periodo
Trasformare un numero decimale in frazione
Trasformare un numero decimale in frazione
1096 − 10
1.0 96 =
990
190554 − 1905
19.05 54 =
9900
I numeri razionali non bastano: i
numeri Reali
Con i numeri razionali abbiamo ottenuto un sistema di
numeri abbastanza utili.
Si può operare su due razionali con tutte e quattro le
operazioni, e con l'eccezione di dividere per zero, si ottiene
un altro razionale.
Se si vuole operare con funzioni quali radice quadrata o se si
vuole semplicemente calcolare la lunghezza di una
circonferenza o l'area di un cerchio, i razionali non sono più
sufficienti.
I decimali non periodici e i numeri reali
I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri
irrazionali.
I numeri che ammettono una rappresentazione decimale
finita oppure infinita e periodica sono i numeri razionali,
quelli con forma decimale infinita non periodica sono i
numeri irrazionali.
I numeri reali sono tutti i numeri che ammettono una
qualunque rappresentazione decimale.
L'insieme dei numeri reali viene indicato con il simbolo R.
I numeri irrazionali
Tra i numeri irrazionali ve ne sono alcuni molto famosi ed importanti:
2 = 1.414
𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 = 𝑙𝑎𝑡𝑜 ×
2
I numeri irrazionali
=3,14159
Il rapporto tra la lunghezza della circonferenza di una ruota e il suo
diametro è π
Circonferenza di un cerchio o di una sfera di raggio r:
𝐶 = 2𝜋𝑟
Area di un cerchio di raggio r
𝐴 = 𝜋𝑟 2
Volume di una sfera di raggio r:
4 3
𝑉 = 𝜋𝑟
3
Superficie di una sfera di raggio r
𝑆 = 4𝜋𝑟 2
I numeri irrazionali
Numero di Eulero (o di Nepero)
e: approssimazione con 5 cifre decimali
2,71828
Il numero di Eulero è collegato con la funzione esponenziale e con la
funzione logaritmo naturale (la funzione inversa dell'esponenziale).
È molto importante per le
svariate applicazioni in fisica:
oscillazioni smorzate E(t)=Eoe-δt
decadimenti radioattivi A(t)= Aoe-λt
……..
Valore assoluto di un numero reale
Se a è un numero reale, il modulo (o valore assoluto) di a è un
numero reale non negativo, che indichiamo con | a |
ad esempio
Valore assoluto di un numero reale
Avremo spesso a che fare con il modulo di una espressione, ad
esempio 3-x.
Si avrà:
Notiamo che |3-x| = |x-3|, visto che l'unica differenza nella definizione
si ha per x = 3, ma in questo caso x-3 = 3-x = 0
Proprietà d’ordine
Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di o
minore di) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende facilmente
agli interi e ai razionali.
Si può quindi dire quando un numero è compreso tra altri due.
Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali è un successore dell'altro, ad
esempio la coppia 5 , 6 o la coppia -4, -3, non esiste alcun numero intero tra di
essi.
Ma nei razionali c'è un numero tra ogni due numeri razionali distinti, ad
esempio la loro media aritmetica.
Anzi, ce ne sono infiniti.
Questa proprietà è chiamata densità di Q.
Questo significa che si possono scegliere due razionali distinti tanto vicini
quanto si vuole.
Q è denso in R
Siano
e sia
x < y,
allora
Si dice che Q è denso in R.
I numeri razionali e i numeri irrazionali sono due insiemi densi, mentre i
numeri interi non lo sono.
Insiemi numerici numerabili e non
numerabili
Tutti gli insiemi numerici sono infiniti, ed è giusto chiedersi
qualora sia o non sia possibile metterli a confronto
reciprocamente.
Un insieme si dice numerabile se può essere messo in
corrispondenza biunivoca con l'insieme N dei numeri naturali.
Corrispondenza biunivoca
Una corrispondenza biunivoca tra due insiemi X e Y è una relazione
binaria tra X e Y, tale che ad ogni elemento di X corrisponda uno ed un
solo elemento di Y, e viceversa ad ogni elemento di Y corrisponda uno
ed un solo elemento di X.
Lo stesso concetto può anche essere espresso usando le funzioni: una
funzione
è biunivoca se per ogni elemento y di Y
vi è uno e un solo elemento x di X tale
che f(x) = y.
Insiemi numerici numerabili e non
numerabili
Un insieme si dice infinito numerabile quando ha la stessa cardinalità
dell'insieme dei numeri naturali N, ossia quando è possibile stabilire una
corrispondenza biunivoca tra tale insieme ed i numeri naturali. In caso
contrario si parla di insieme non numerabile.
Esempi di insiemi numerabili sono l'insieme dei numeri interi e quello dei
numeri razionali.
Il più semplice esempio di insieme non numerabile è dato dall'insieme dei
numeri reali.
Insiemi numerici numerabili e non
numerabili
Definizione: Un insieme A è detto numerabile se esiste un’applicazione
biunivoca di N in A.
Se A è numerabile è possibile etichettare ogni elemento di A con un
numero naturale ponendo an = f(n); questo corrisponde a numerare gli
elementi di A o detto altrimenti a disporli in successione.
Teorema: L’insieme Z dei numeri interi è numerabile.
Dimostrazione – Definiamo la seguente applicazione f : N → Z ponendo
La f così definita è, come si vede facilmente, biunivoca.
Proposizione: Il prodotto cartesiano di due insiemi numerabili è
numerabile. Quindi, in particolare Z × Z è numerabile.
Teorema: L’insieme Q dei numeri razionali è numerabile.
Retta orientata
Su di una data una retta r è possibile fissare un sistema di riferimento. Per
fare questo occorre:
fissare un qualsiasi punto O detto origine
orientare la retta fissando un verso di percorrenza (detto positivo se
dall’origine ci si sposta verso destra)
fissare una unità di misura
Si stabilisce così una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e i
numeri reali.
Sistema di ascisse sulla retta reale
Su una retta si fissa un sistema di riferimento considerando:
un punto O (origine) a cui si associa il valore 0
a destra di O, un altro punto che chiamiamo U (punto unità) e cui si
associa il valore 1
Il segmento OU è l’unità di misura del sistema fissato.
In questo modo viene definita una corrispondenza biunivoca fra tutti i
punti della retta ed i numeri reali, nel senso che ad ogni punto di tale
retta corrisponde uno e un solo numero reale.
Tale numero (detto ascissa del punto) in valore assoluto individua la
distanza dall'origine nell'unità di misura scelta, inoltre è positivo se il
punto si trova a destra di O e negativa altrimenti.
Viceversa, ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto della
retta euclidea.
Intervalli reali
Gli intervalli sono particolari
sottoinsiemi della retta reale.
Intervalli Limitati
Intervalli reali
Intervalli non limitati.
Sia h un numero reale, allora
Le coordinate cartesiane sul piano
R2 è l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali e la sua
rappresentazione geometrica è il piano.
Il sistema più ampiamente usato nel piano è quello delle coordinate
cartesiane, basato su un insieme di assi perpendicolari tra loro.
Queste coordinate prendono il nome da René Descartes (Cartesio), un
filosofo e scienziato francese che nel '600 ideò un modo di "etichettare"
ogni punto di un piano con una coppia di numeri.
Il sistema è basato su 2 linee rette ("assi"), perpendicolari tra loro, su
ciascuna delle quali è fissato un sistema di ascisse, con origine nel punto
in cui esse si incontrano e con la stessa unità di misura.
Le coordinate cartesiane sul piano
L'ascissa sull'asse orizzontale è indicata con la lettera x, e sull'altro asse con y.
Dato quindi un punto P, si tracciano da esso le parallele agli assi, e i valori x e
y sulle intersezioni definiscono completamente il punto.
In onore di Cartesio, questo modo di
etichettare i punti è noto come sistema
cartesiano e i due numeri (x,y) che
definiscono la posizione di ogni punto
sono le sue coordinate cartesiane.
Nei grafici è spesso usato questo sistema,
come pure sulle mappe.
Piano cartesiano e quadranti
Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni
denominate quadranti, indicate mediante numeri romani
progressivi in senso antiorario:
O I quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata
positive;
O II quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed
ordinata positiva;
O III quadrante: simmetrico al primo rispetto all'origine;
O IV quadrante: simmetrico al secondo rispetto all'origine.
Piano cartesiano e quadranti
Corrispondenza biunivoca
è biunivoca se per ogni elemento y di Y
vi è uno e un solo elemento x di X tale
che f(x) = y.
Ogni numero reale x ha una e una
sola controimmagine y (ogni
retta parallela all’asse x interseca la
curva in un solo punto), quindi f
è biunivoca
Corrispondenza biunivoca
Funzione costante
𝑦=𝑐
Corrispondenza biunivoca
Funzione di 1° grado
RETTA
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Corrispondenza biunivoca
Funzione di 1° grado
𝑦 = |𝑥|
A diversi valori di x corrisponde lo
stesso valore di y quindi f NON è
biunivoca (una retta parallela
all’asse x interseca la curva in più
di un punto),
Corrispondenza biunivoca
Funzione di 2° grado
PARABOLA
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
A diversi valori di x corrisponde lo
stesso valore di y quindi f NON è
biunivoca (una retta parallela
all’asse x interseca la curva in più
di un punto),
Corrispondenza biunivoca
𝑦 = ln 𝑥
Corrispondenza biunivoca
Funzione esponenziale con a >1
𝑦 = 𝑎𝑥
Corrispondenza biunivoca
Ogni numero reale x ha una e una
sola controimmagine y (ogni
retta parallela all’asse x interseca la
curva in un solo punto), quindi f
è biunivoca
Rappresentazione di un numero reale
come prodotto di una mantissa per
una potenza di 10
Ogni numero reale a può essere scritto nella forma
dove p  R; N è la base del sistema di numerazione e q  Z.
Il coefficiente della potenza di 10 viene chiamato mantissa del numero.
Questa rappresentazione, detta in virgola mobile (floating-point), non è
unica, infatti:
Rappresentazione di un numero reale
come prodotto di una mantissa per
una potenza di 10
La rappresentazione di a si dice normalizzata quando:
Le cifre di p si dicono cifre significative
Esempi:
- La rappresentazione normalizzata di a = 92.25 è a = 0.9225 × 102;
- la rappresentazione normalizzata di a = 0.000718 è a = 0.718000 × 10-3
Fissata la base N, ogni numero reale a è univocamente definito dalla
coppia
a = (p; q)
p viene detta mantissa di a, q viene detto esponente di a
Rappresentazione di un numero reale
come prodotto di una mantissa per
una potenza di 10
centomila
100000
105
10 alla quinta potenza
Diecimila
10000
104
10 alla quarta potenza
Mille
1000
103
10 alla terza potenza
Cento
100
102
10 alla seconda potenza
Dieci
10
101
10 alla primapotenza
uno
1
100
10 alla potenza zero
Potenze
Supponiamo di avere un prodotto del tipo
tale scrittura la sintetizza con:
il numero in alto ”Esponente” indica quante volte stiamo moltiplicando
il numero 5 ”base” per se stesso:
L’ESPONENTE INDICA QUANTE VOLTE DEVO MOLTIPLICARE LA
BASE PER SE STESSA
Calcoliamo 25:
25=2x2x2x2x2=32
Le proprietà delle potenze:
Le proprietà delle potenze ci aiutano a eseguire i calcoli più facilmente.
Il prodotto di potenze con la stessa base.
Il prodotto di due o più potenze con la stessa base è una potenza che ha per
base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.
Esempio: 42 x 45 = 4 2+5 = 47
Esempio:
3x3x3x3x3
3x3x3x3x3
32 x 32 x 3 = 35
la somma degli esponenti: 2+2+1=5
Le proprietà delle potenze:
Il quoziente di potenze con la stessa base.
Il quoziente di due o più potenze con la stessa base è una potenza che ha
per base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti.
Esempio: 46 : 42 = 44
Esempio:
36 : 32 = 36 – 2 = 34
32 :33 = 3 2-3 = 3-1
N.B: qualsiasi potenza con esponente “0”è uguale a “1”
32 : 32 = 30
 
9 : 9= 1
Le proprietà delle potenze:
Generalizzando:
bm · bn = bm+n
Le proprietà delle potenze:
Potenza di potenza:
La potenza di potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per
esponente il prodotto degli esponenti.
Esempio (53)2 = 56
Esempio:
7 x7 x7 x 7 x 7 x 7
73 x
73
= 76
( 73 )2 = 76 = QUADRATO DEL CUBO
IL CUBO AL QUADRATO
7 x7 x 7 x 7 x 7 x 7
72 x 72 x
72 = 76
( 72 )3 = 76 = CUBO DEL QUADRATO
IL QUADRATO AL CUBO
Le proprietà delle potenze:
Il prodotto di potenze con lo stesso esponente
Il prodotto di due o più potenze con lo stesso esponente... è una potenza
che ha per base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente.
Esempio: 42 x 32 = 122
Esempio: 32 x 52 = 3 x 3 x 5 x 5 = ( 3 x 5)2 = 152 = 225
Il quoziente di potenze con lo stesso esponente
Il quoziente di due o più potenze con lo stesso esponente... è una
potenza che ha per base il quoziente delle basi e come esponente lo stesso
esponente.
Esempio 246 : 126 = (24:12)6 = 26
Le proprietà delle potenze:
Potenze ad esponente negativo
Cosa significa potenza ad esponente negativo?
4−3 = ?
tale scrittura la si usa per sintetizzare:
da cui:
Le potenze ad esponente negativo sono il reciproco della stessa
potenza ad esponente positivo
Le proprietà delle potenze:
Potenze ad esponente frazionario o razionale
il denominatore della frazione va all’indice della radice e il
numeratore va all’esponente del radicando, cioè della quantità sotto
radice.
Potenze con esponente 0
La potenza
a0 = 1
qualsiasi potenza ad esponente nullo vale 1.
Potenze
Le potenze sono molto utili perché con esse è possibile mettere in forma
abbreviata e compatta numeri anche molto grandi e perché soddisfano
importanti ed utili proprietà.
Per esempio, la distanza terra-sole è di 150.000.000 km . Questo
numero può essere scritto come:
15 × 107 𝑘𝑚
oppure, come si usa nella notazione scientifica (la stessa delle calcolatrici
elettroniche) :
1.5 × 108 𝑘𝑚