Corso di Fisica Generale 1
a.a. 2016 / 2017
corso di laurea in Ingegneria dell'Automazione
ed Ingegneria Informatica (A-B)
19° lezione (6 / 12 / 2016)
Dr. Laura VALORE
Email : laura.valore@na.infn.it / laura.valore@unina.it
Pagina web : www.docenti.unina.it/laura.valore
Ricevimento : appuntamento per email – studio presso il Dipartimento di Fisica
(Complesso Universitario di Monte Sant'Angelo, Edificio 6) – stanza 2Ma13
Oppure Laboratorio (Hangar) 1H11c0
Moto armonico semplice
-xm
xm
0
x
Moto armonico : qualsiasi movimento che si ripeta ad intervalli regolari
Moto armonico semplice : lo spostamento della particella rispetto all'origine in funzione
del tempo t è di tipo sinusoidale
puo' quindi essere descritto attraverso
una funzione seno o coseno
fase
x(t) = xmcos(ωt + φ)
spostamento
angolo di fase o
costante di fase
ampiezza
pulsazione o frequenza angolare
Moto armonico semplice : spostamento
in t=0, la particella si trova in x = +xm
(estremità destra dell'asse x)
negli istanti successivi, la particella inizia a
spostarsi nel verso negativo delle x
in t = T/2, la particella sarà arrivata in x = -xm
(estremità sinistra dell'asse x)
l'argomento della funzione coseno oscilla tra
-1 e +1 → x(t) oscilla tra -xm ed xm
→ xm rappresenta l'ampiezza dell'oscillazione
x(t) = xmcos(ωt + φ)
spostamento
ampiezza
proseguendo ancora, la particella riprende a
muoversi nel verso positivo delle x fino a
completare il ciclo tornando in x = xm in
corrispondenza di t = T (periodo)
durante il ciclo, la particella transita 2 volte
per la posizione x = 0
Moto armonico semplice : grafici
grafico dello spostamento
x(t) in funzione del tempo t
x(t) = xmcos(ωt + φ)
la velocità istantanea è la
tangente alla curva
Angolo di fase φ
x(t) = xmcos(ωt + φ)
l'argomento del coseno è detto fase del moto
La costante φ è detta angolo di fase o costante di fase.
fase
Definisce la posizione della particella all'istante t=0 :
→ per t = 0, x(t=0) = xmcos(φ)
φ=π rad
φ=0 rad
-xm
xm
φ=1/2 π rad
φ=3/2 π rad
x
Pulsazione o frequenza angolare ω
ω è legata alla frequenza (e di conseguenza al periodo) dell'oscillazione :
ω = 2π/T = 2πƒ
Dimostrazione :
la posizione della particella deve essere la stessa in x(t) ed x(t + T)
→ posta la costante di fase φ = 0 per semplicità,
xmcos(ωt) = xmcos(ω(t + T))
la funzione coseno restituisce lo stesso valore ogni 2π, quindi affinché sia vera l'equazione di
sopra deve valere :
ω(t + T) = ωt + 2π
siccome T = 1/ƒ
→
ωT = 2π → ω = 2π/T
→ ω = 2πƒ
Velocità nel moto armonico semplice
la velocità varia in modulo e direzione durante il moto :
➢ v = 0 nei punti estremi
➢ v massima nel punto centrale
v(t) = dx/dt = d/dt [xmcos(ωt + φ)] →
ricordando che d/dx[cos(f(x))] = - f'(x)senf(x)
v(t) = -ωxmsen(ωt + φ)
la velocità nel moto armonico oscilla tra -ωxm e +ωxm.
La quantità ωxm è detta estensione dell'oscillazione
Accelerazione nel moto armonico semplice
a(t) = dv(t)/dt = d/dt [-ωxmsen(ωt + φ)] →
ricordando che d/dx(senf(x)) = f'(x)cosf(x)
a(t) = -ω2xmcos(ωt + φ)
l'ampiezza dell'accelerazione è ω2xm
nella figura accanto sono messi a confronto
spostamento, velocità ed accelerazione nel
moto armonico semplice, ponendo per
semplicità φ=0
x(t) = xmcos(ωt + φ)
v(t) = - ωxmsen(ωt + φ)
a(t) = - ω2xmcos(ωt + φ)
a(t) è massima quando v(t) = 0, x(t) si trova ad uno dei
due estremi ed il senso del moto si inverte
Accelerazione nel moto armonico semplice
a(t) = -ω2xmcos(ωt + φ)
x(t) = xmcos(ωt + φ)
a(t) = -ω2x(t)
nel moto armonico semplice,
● l'accelerazione della particella è sempre di segno opposto allo spostamento x(t)
●
il rapporto tra accelerazione e spostamento è una costante : a(t)/x(t) = -ω2
nel moto armonico semplice, l'accelerazione è proporzionale allo
spostamento (ma di segno opposto) e le due quantità sono legate dal
quadrato della pulsazione
x(t) max valore positivo
a(t) max valore negativo
Forza nel moto armonico semplice
usando la 2° legge di Newton : F = ma
nel moto armonico semplice, a = -ω2x
→ F = (-mω2)x
la forza esercitata sulla particella agisce in verso opposto allo spostamento : è una
forza di richiamo! Abbiamo già incontrato una forza di richiamo → molla
forza elastica → F = -kx dove k = mω2
il moto armonico semplice è il moto di una particella di massa m
soggetta ad una forza proporzionale allo spostamento della
particella ma di segno opposto
F = -mω2x
ω = √k/m
pulsazione o frequenza angolare
T = 2π √m/k
(rapidità di oscillazione)
periodo
Esercizi 15.1 e 15.2
Esempio di conservazione dell'energia meccanica
e bilancio tra energia cinetica e potenziale
durante l'oscillazione del pendolo K ed U
variano al variare dell'altezza del peso,
ma Emec si conserva.
In a) ed in e) l'energia è tutta cinetica : il
peso ha velocità massima e passa per il
punto piu' basso della traiettoria.
In c) e g) all'opposto il peso è nel punto
piu' alto della sua traiettoria, la velocità
si è azzerata e l'energia è tutta
potenziale (gravitazionale)
Negli stati intermedi, metà dell'energia è
cinetica e metà è potenziale
Nel caso reale, in presenza di attrito,
quest'ultimo dissiperebbe l'energia
meccanica ed il pendolo alla fine si
fermerebbe
Moto armonico semplice :
energia cinetica e potenziale
sistema molla + blocco :
Energia potenziale : U = ½ kx2 associata alla molla
Energia cinetica : K = ½ mv2 associata al blocco m
U(x) = ½kx2 = ½kxm2cos2(ωt+φ)
da x(t) = xmcos(ωt+φ)
K(x) = ½mv2 = ½m(-ωxm)2sen2(ωt+φ)
da v(t) = -ωxmsen(ωt+φ)
ricordando che per l'oscillatore armonico semplice lineare vale k/m = ω2 →
K(x) = ½mω2xm2sen2(ωt+φ) = ½m(k/m)(xm)2sen2(ωt+φ) = ½ kxm2sen2(ωt+φ)
Moto armonico semplice :
energia meccanica
U(x) = ½kxm2cos2(ωt+φ)
K(x) = ½ kxm2sen2(ωt+φ)
Emec = ½kxm2
Emec = U + K = ½ kxm2 [cos2(ωt+φ) + sen2(ωt+φ)] = ½ kxm2
costante
=1
Se non ci sono attriti, agiscono solo forze
conservative, Emec si conserva →
K ed U si alternano nel tempo, l'energia si
trasforma da un tipo all'altro a seconda
della posizione.
Verifica
Il sistema molla + blocco in figura, quando si trova nel punto x = + 2,0 cm ha un'energia
cinetica di 3 J e la molla ha un'energia potenziale elastica di 2 J.
a) qual è l'energia cinetica in x = 0?
b) Qual è l'energia potenziale elastica in x = -2,0 cm?
c) Qual è l'energia potenziale elastica in x = -xm ?
Verifica
Il sistema molla + blocco in figura, quando si trova nel punto x = + 2,0 cm ha un'energia
cinetica di 3 J e la molla ha un'energia potenziale elastica di 2 J.
Emec = U + K = 5J
a) qual è l'energia cinetica in x = 0?
è il punto in cui la velocità è massima → K = 5J
b) Qual è l'energia potenziale elastica in x = -2,0 cm?
è la posizione simmetrica rispetto a x = +2,0 cm, U = 2J
c) Qual è l'energia potenziale elastica in x = -xm ?
è una delle due estremità → v=0 → K=0 → U = 5J
Oscillatore armonico semplice angolare
E' la versione rotazionale dell'oscillatore armonico semplice lineare.
Il dispositivo a lato è detto PENDOLO DI TORSIONE
La componente elastica è rappresentata dalla torsione
di un filo.
Il disco oscilla sul piano orizzontale; se ruotiamo il
disco di un angolo θ rispetto alla sua posizione di
equilibrio (angolo 0) e lo lasciamo libero, questo inzierà
ad oscillare attorno a questa posizione.
La rotazione del disco di un angolo θ genera un
momento torcente di richiamo che tende a constrastare
la rotazione : τ = -kθ
k = costante di torsione
versione rotazionale della
legge di Hooke F = -kx
se T = 2π√m/k → per l'oscillatore armonico semplice lineare,
T = 2π√I/k → per l'oscillatore armonico semplice angolare
Pendolo semplice
Il pendolo semplice è costituito da un'asta appesa di massa trascurabile, che
puo' ruotare attorno al suo perno (aggangio superiore) e dotata di un peso
(ipotizzato puntiforme) agganciato alla sua estremità inferiore.
E' sempre un oscillatore armonico, ma la sua componente elastica è legata
alla forza di gravità anzichè ad una molla o ad un filo che si torce.
consideriamo una massa puntiforme m appesa
ad un filo, inestensibile e di massa trascurabile,
di lunghezza L.
Il corpo è libero di oscillare avanti e indietro su
un piano, a sinistra e a destra della linea
verticale passante per il punto di sospensione
del filo.
Pendolo semplice
Le forze agenti sul corpo puntiforme di massa
m sono :
la tensione T nel filo e la forza peso Fg
•
componente radiale Fgcosθ
•
componente tangenziale Fgsenθ
La componente della forza peso tangente
all'arco di circonferenza descritto dal corpo
puntiforme tende a riportare il corpo nella
posizione di equilibrio
il momento torcente di richiamo è :
τ = r┴F = -LFgsenθ
il segno – indica che è una forza di
richiamo : il momento è sempre di segno
opposto allo spostamento
Pendolo semplice
approssimazione per piccole oscillazioni
il momento torcente di richiamo è :
τ = -LFgsenθ
ma per la 2° legge di Netwon per il moto rotatorio,
τ = Iα , da cui
-Lmgsenθ = Iα
I → momento d'inerzia del pendolo rispetto al perno
α → accelerazione angolare del pendolo
Per angoli piccoli, è valida l'approssimazione senθ ≈ θ
(ad esempio, se θ = 5° = 0.0873 rad → senθ = 0.0872 → la differenza tra i due è dello 0.1%,
quindi trascurabile)
In questo caso, possiamo scrivere : -Lmgsenθ = Iα → -Lmgθ = Iα → α = -(mgL/I)θ
che è l'equivalente rotazionale dell'accelerazione per il moto armonico semplice
lineare → a(t) = -ω2x(t)
Pendolo semplice :
accelerazione angolare e pulsazione
α = -(mgL/I)θ → l'accelerazione è proporzionale allo spostamento angolare
cambiato di segno
Data l'ipotesi di angolo piccolo fatta al principio, possiamo dire che :
Un pendolo semplice che oscilla su un angolo piccolo approssima
un oscillatore armonico semplice
ovvero, l'ampiezza angolare θm (massimo angolo di spostamento rispetto alla
posizione di riposo) deve essere piccola
facendo il parallelo tra a = -ω2x ed α = -(mgL/I)θ
possiamo dire che la pulsazione ω è :
ω = √mgL/I
Pendolo semplice :
periodo del pendolo
Se la pulsazione ω è :
ω = √mgL/I
il periodo del pendolo sarà :
T = 2π/ω = 2π√I/mgL
La massa nel pendolo semplice è tutta concentrata nel
corpo puntiforme che si trova a distanza L dal perno : il
suo momento d'inerzia sarà allora
I = mr2 = mL2 →sostituendo,
T = 2π√I/mgL = 2π√mL2/mgL →
T = 2π√L/g
valida per il pendolo semplice, per piccole oscillazioni
Pendolo reale
Il pendolo semplice per piccoli angoli oscilla di moto armonico semplice.
Cosa succede per un pendolo reale, in cui la distribuzione della massa non è tutta
concentrata nell'estremità puntiforme?
Differenza tra pendolo semplice e reale :
la forza di gravità agisce sul centro di massa del
corpo, posto a distanza h dal perno di rotazione
Il momento della forza di richiamo è τ = -(Fgsenθ)(h)
Per piccole oscillazioni, troviamo ancora che il
pendolo reale si muove di moto armonico semplice
Il periodo del pendolo è
T = 2π√I/mgh
il momento d'inerzia I stavolta dipende dalla forma del
corpo.
Verifica
Cosa succede se il perno di un pendolo reale coincide con il suo centro di massa ?
Verifica
Tre pendoli reali di masse m, 2m e 3m hanno stessa forma e dimensioni e sono
sospesi per lo stesso punto.
Mettete i pendoli in ordine decrescente secondo i valori del loro periodo.
Verifica
Tre pendoli reali di masse m, 2m e 3m hanno stessa forma e dimensioni e sono
sospesi per lo stesso punto.
Mettete i pendoli in ordine decrescente secondo i valori del loro periodo.
T = 2π√I/mgh → I è sempre proporzionale ad m → tutti uguali
Moto armonico semplice e moto
circolare uniforme
Il moto armonico semplice è la proiezione di un moto circolare uniforme su un
diametro della circonferenza su cui questo moto si svolge
ovvero, il moto armonico semplice non è altro che un moto circolare uniforme visto “di profilo”
La particella P' in figura si muove di moto circolare uniforme sulla circonferenza di
raggio xm, a velocità angolare ω. Per qualsiasi istante t, la posizione angolare della
particella è ωt+φ
Proiettando P' sull'asse x, otteniamo il punto P. Durante il moto di P', la sua proiezione
P oscilla avanti e indietro sull'asse x tra -xm ed xm.
Moto armonico semplice e moto
circolare uniforme
Il moto armonico semplice è la proiezione di un moto circolare uniforme su un
diametro della circonferenza su cui questo moto si svolge
ovvero, il moto armonico semplice non è altro che un moto circolare uniforme visto “di profilo”
La componente x del vettore posizione xm relativo a P' è x(t) = xmcos(ωt+φ)
La proiezione della velocità è v(t) = -ωxmsen(ωt+φ)
La proiezione dell'accelerazione è a(t) = -ω2xmcos(ωt+φ)
Moto armonico semplice smorzato
Quando il moto di un pendolo viene rallentato da una forza impressa dall'esterno (come
la resistenza dell'aria, o dell'acqua) si dice che l'oscillatore ed il suo moto sono smorzati
L'energia meccanica Emec diminuisce nel corso delle
oscillazioni perché forze esterne le ostacolano e
trasformano l'energia meccanica in energia termica.
Esiste quindi una forza smorzante Fsm = -bv
v = velocità dell'oscillatore
b = costante di smorzamento
dipende dalle
caratteristiche del liquido e della paletta
La soluzione per la seconda legge di Netwon per le
oscillazioni smorzate ci dice che :
x(t) = xme-bt/2m cos(ωsmt+φ) dove la pulsazione per
l'oscillatore smorzato è
ωsm = √k/m – b2/4m2
se c'è smorzamento, Emec non è costante → E(t) = ½ kxm2e-bt/m
Oscillazioni forzate e risonanza
Se una forza esterna con pulsazione ωf agisce su un sistema oscillante a
pulsazione naturale ω, il sistema oscillerà con frequenza angolare ωf
Il valore che puo' raggiungere l'ampiezza dello spostamento dipenderà da
una funzione di ω e ωf.
L'ampiezza che puo' raggiungere la velocità delle oscillazioni raggiunge il
valore massimo quando ω = ωf, che è la condizione di risonanza
